Integral de \( \sec^3 x \)

Derivación y evaluación

El método de integración por partes se utiliza para encontrar la integral:

\[ \int \sec^3 x \, dx \]

La fórmula de integración por partes se expresa de la siguiente manera:

\[ \int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx \]

Sean \( v = \sec x \) y \( u' = \sec^2 x \); por lo tanto, \( u = \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x \) y \( v' = \sec x \tan x \). Aplicando esto:

\[ \begin{aligned} \int \sec^3 x \, dx &= \int \sec^2 x \cdot \sec x \, dx \\[6pt] &= \tan x \sec x - \int \tan x \sec x \cdot \tan x \, dx \\[6pt] &= \tan x \sec x - \int \tan^2 x \sec x \, dx \qquad (I) \end{aligned} \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) para reescribir la integral:

\[ \begin{aligned} \int \tan^2 x \sec x \, dx &= \int (\sec^2 x - 1)\sec x \, dx \\[6pt] &= \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx \end{aligned} \]

Sustituye esto de nuevo en la ecuación (I):

\[ \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x - \left( \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx \right) \] \[ \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x \, dx \]

Suma \( \displaystyle \int \sec^3 x \, dx \) a ambos lados de la ecuación y simplifica:

\[ 2 \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x + \int \sec x \, dx \]

Utiliza la fórmula de la integral estándar \( \displaystyle \int \sec x \, dx = \ln|\tan x + \sec x| \):

\[ 2 \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x + \ln|\tan x + \sec x| \]

Dividiendo todos los términos por \( 2 \) y agregando la constante de integración \( c \), obtenemos la respuesta final: